지수분포 (Exponential distribution)

지수분포 (Exponential Distribution)

 

연속확률분포의 한 종류 중에 지수분포가 있습니다.

지수분포는 지정쇤 시점으로부터 어떤 사건이 일어날 때까지 걸리는 시간을 측정하는 확률 분포입니다.

예를 들어서, 한 병원에서 환자를 치료하는 데 걸리는 시간 같은것 들은 지수분포를 따르고, 주로 경영, 경제 관련 변수들은 흔히 지수분포를 따른다고 하네요.

 

좀더 자세히 들여다 볼까요?

 

어떤 사건이 단위구간당 평균 λ회 발생하는 포아송 분포를 따른다고 가정해 봅시다.

이 때, t구간에서 일어나는 평균 사건 수는 λt 회가 됩니다.

이 평균 사건 수를 확률변수 X로 나타낸다면, 이 X는 평균이 λt인 포아송 분포를 따르겠죠.

이걸 수식으로 나타내 보겠습니다.

 

그럼 이때, 지정된 시점 (여기서는 t=0이라고하죠)으로부터 처음 사건이 일어날 때까지 걸린 시간을 확률변수 T로 정의 한다면, T≥t 일 확률은 (0,t) 구간에서 사건이 한번도 일어나지 않을 확률 (X=0)과 같으므로 다음과 같이 됩니다.

 

 

여기서 확률변수 T의 누적분포함수(CDF)를 구해보면

 

가 되고, 확률밀도함수(pdf)는 이걸 미분해주면되겠죠?

그러므로 확률밀도함수는

 

가 됩니다.

 

지수분포의 평균과 분산은 다음과 같습니다.