이항분포 (binomial Distribution)

이항분포

 

이산확률분포 (Discrete distribution)에는 여러가지가 있는데, 그중 가장 기본인 이항분포에 대해서 알아보겠습니다.

 

이항분포에서 실험의 결과는 서로 배타적 (mutually exclusive)이며 전체를 포괄하는 두가지 사건(성공 혹은 실패)로만 나타납니다.

예를 들어서 가장 유명한 동전의 앞/뒷면의 경우가 있겠구요. 생산된 상품의 불량여부, 어떤 집단의 남녀 성별 여부 등이 있겠습니다.

이러한 실험들은 모두 두가지 결과만을 기대할 수 있는데, 이런 시행을 베르누이 시행 (Bernoulli trial)이라고 합니다.

이때, 성공의 확률을 p로 나타낸다면 실패의 확률은 1-p가 됩니다. (합쳐서 1이지요)

 

이 베르누이 시행을 여러번 한다고 가정하고, 시행을 반복할 때의 성공 횟수를 고려해봅시다. 이 성공의 횟수는 이항 확률 변수 (binomial random variable)이 됩니다. n번의 실행을 한다고 했을대, 이 이항확률변수는 0에서 n까지의 하나의 값을 취하게 되고, 이 변수의 분포를 이항확률분포(binomial probability distribution)이라고 합니다.

 

예를 들어서 한 회사의 신입사원이 남자일 확률이 p라고 가정해봅시다. 이번달 신입사원의 수가 3명일 때, 이항확률변수는 0에서 3까지 가능합니다. 이 이항분포를 수식으로 나타내보면

 

남자의수(x)        P(x)

0                        (1-p)^3

1                        3p(1-p)^2

2                        3(1-p)p^2

3                        p^3

이 됩니다.

 

이러한 결과를 수식으로 도출해보면

 

위와 같이 나타낼 수가 있습니다.

 

그럼 예를 들어서 계산을 한번 해불까요??

한 학급에 여자가 3/5, 남자가 2/5라고 할때, 임의로 학생을 5명 뽑았을때 남자가 3명일 확률은 얼마일까요??

X를 남자라고하고 p는 그럼 0.4가되겠지요. n은 5이고 x는 3입니다.

그러므로

 

직접 계산해 보시기 바랍니다 ㅎㅎ

 

이러한 이항분포의 성질에서 평균, 분산, 및 표준편차를 구할 수가 있겠는데요.

이항분포의 평균은

 

분산은

 

그리고 표준편차는 분산에 루트를 입힌 꼴이 되겠습니다.

 

위의 예제로 들면, 5명을 뽑았을때 평균 남자수는 5 곱하기 2/5로 2이구요.

분산은 5곱하기 2/5곱하기3/5이므로 1.2가 되겠네요.