Gun들지마의 Bioinformatics 생명정보학

확률분포에서 평균의 개념에 해당되는 것이 기대값입니다. 즉, 확률변수가 취할 수 있는 모든 값들의 평균으로 확률변수가 취할 확률이 가장 높은 값을 의미하죠.

기대값은 E(X)로 표현하며 이산확률분포에서 기대값은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

기대값의 특성으로는

1. E(a) = a

2. E(aX) = aE(X)

3. E(X+Y) = E(X) + E(Y)

4. E(X-Y) = E(X) - E(Y)

(X,Y는 확률변수, a는 상수)

분포의 흩어짐의 정도를 측정하는 분산은 다음과 같이 정의합니다.

분산의 특성으로는

1. Var(a) = 0

2. Var(aX) = a^2 Var(X)

3. Var(X+a) = Var(X)

4. If X and Y are idd, Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) and Var(X-Y) = Var(X) - Var(Y)

확률 변수 (Random variable)은 임의 적인 실험에서 일정한 확률을 가지고 발생하는 결과에 실수값을 부여하는 변수를 말합니다. 주로 X,Y,Z 같은 영문 대문자로 표현합니다.

이 확률 변수는 확률변수가 취할 수 있는 실수값의 수를 셀 수 있는 이산(discrete)확률변수와 셀 수 없는 연속(continuous)확률 변수로 구분됩니다.

예를 들어 핸드폰 100개중 불량품의 갯수는 이산 확률 변수 겠지요. 반대로 평균적으로 버스를 기다리는 시간 은 연속 확률 변수라고 할 수 있습니다. 취할 수 있는 실수값의 수가 셀 수 없이 무한하니깐요. 이때는 주로 실수값이 정확한 수치 보다는 특정 구간 전체로 나타냅니다.

이어서, 어떤 확률변수가 취할 수 있는 모든 가능한 값들에 대응하는 확률을 모두 표시하는 것을 확률분포(probability distribution)이라 하고, 이것을 함수로 나타낸 것을 확률함수(probability function)이라고 합니다.

베이즈 정리 (Bayes theorem)은 사전적 확률(prior probability) 정보를 이용해서 사후적확률 (posterior probability) 정보를 예측하는 이론입니다. 그 반대인 사후적 확률을 이용해 사전적 확률을 구할 수도 있겠죠.

간단히 정리하면,

로 나타낼 수 있습니다.

예를 들어서 한 회사의 핸드폰이 불량일 확률 (A)이 0.1%라고 가정하고, 불량 중에 배터리 오작동(B)일 경우에는 40%라고 가정해봅시다.

수식으로 나타낸다면

핸드폰이 불량일 확률 P(A) = 0.001

불량인 가정 하에 배터리 오작동일 경우 P(B|A) = 0.4 가 됩니다.

그런데 한 대리점의 핸드폰을 조사해 본 결과 그중 배터리 오작동이 10%가 된다고 한다면,

핸드폰이 배터리 오작동을 한 것 중 불량인 경우는 P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B) = 0.4 * 0.001 / 0.1 = 0.4% 가 되는 것이지요.

다른 예를 들어볼까요?

한 카지노에서 보통의 주사위를 100개중 95개, 조작된 주사위(숫자6이 계속 나옴)가 100개중 5개라고 합시다. 한 테이블에서 같은 주사위를 5번 던졌는데 6이 5번 다 나왔다면, 어라? 이거 주사위가 조작된거 아니야? 라고 생각하시겠죠? 그럼 실제로, 이 주사위가 조작된 주사위일 확률은 얼마일까요?

복잡해 보이지만 차근차근 풀어나가 봅시다.

보통의 주사위를 사용할 확률 P(A) = 0.95

조작된 주사위를 사용할 확률 P(B) = 0.05

보통의 주사위로 6이 5번 나올 확률 P(S|A) = 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/7776

조작된 주사위로 6이 5번 나올 확률 P(S|B) = 1 (무조건 나오겠죠?)

그러므로, 6이 5번 나왔을때 조작된 주사위일 확률은

P(B|S) = P(S|B) P(B) / P(A) = 1 * 0.05 / 0.95 = 0.0526316 으로

약 5.3% 정도 되는군요.

흠....... 그러므로 다음에 라스베가스에 갈 때는 계속 진다고 조작된거라고 무작정 의심하면 안되겠군요...^^

조건부 확률이란 사건 A와 B가 있을때 사건 B가 발생하였다는 가정하에 사건 A가 일어날 확률입니다.

예를 들어,

A: 내일 소풍을 갈 확률

B: 내일 날씨가 맑을 확률

이라고 할때 내일 날씨가 맑다는 전제하에 내일 소풍을 갈 확률을 얘기하는것 입니다.

이것을 수식으로 쓰면,

이고 여기서 P(B) 는 공집합이 될수 없습니다.

위의 예를 들어보아, 내일 소풍을 갈 확률이 50% 이고, 내일 날씨가 맑을 확률이 70%이며, 날씨가 맑고 소풍을 갈 확률이 40%라고 할때

P(A|B)는 0.4 / 0.7 이 되어 약 57.14%가 되는것이지요.

흠...날씨가 맑아도 소풍을 갈 확률이 반보다 조금 넘는군요.

위의 공식에서  교집합을 구할 수 가 있는데, 분모를 반대쪽으로 넘기면

이렇게 되지요.

이 공식이 실제로 쓰이는 예제를 들어보면,

한 반에서 아이폰을 가지고 있는 학생의 확률은 60%가 된다고 칩시다. (미국에서 실제로 더 가지고 있는 듯 해요 ㅋ)

그리고 아이폰을 가지고 있으면 노트북을 가지고 있을 확률은 80%가 된다고 하면, 아이폰과 노트북을 두개다 가지고 있는 학생은 얼마가 될까요?

간단히 0.6 곱하기 0.8을 하면 48%는 노트북과 아이폰을 둘다 가지고 있는것이지요.

리서치 프로젝트를 진행하다보니 제 리서치가 확률과 통계를 아주 많이 쓰고 있었습니다.

아...이럴줄 알았으면 학부때 통계학 수업좀 제대로 들어놓을껄...ㅡㅜ

그냥 A 받는데 급급해서 숙제만하고 시험예상문제만 풀었더니 여기서 발목을 잡네요.

이카테고리는 제가 확률과 통계를 공부하면서 개인적으로 정리하거나 설명이 필요한 부분을 써놓은 카테고리 입니다.